Armonica Seria - studopediya

Condiția necesară pentru convergența unei serii.

Găsirea n-lea sumă parțială și limita pentru o serie arbitrară, în multe cazuri, este o provocare. Prin urmare, pentru a determina convergența de convergență stabilesc caracteristici speciale. Primul dintre acestea, de regulă, este necesară pentru convergență.

Teorema 1. Dacă seria (1) converge, atunci termenul său general tinde la zero, adică. E.

Dovada: Să presupunem că seria (1) converge. Apoi (și când). Având în vedere că obținem

Corolar 1 (o condiție suficientă pentru o serie de divergențe). Dacă această limită sau nu există, atunci seria este divergenta.

Într-adevăr, în cazul în care seria converge, apoi (teorema). Dar aceasta contrazice ipoteza. Prin urmare, seria diverge.

Exemplul 2. Testul seria converge.

Soluție: Un număr de cote, ca

t. e. o condiție suficientă a unui număr de divergențe.

Exemplul 3. Pentru a investiga convergența

Soluție: Această serie diverge.

Teorema 1 oferă o condiție necesară pentru convergența a seriei, dar nu suficiente: această condiție nu implică faptul că seria converge. Acest lucru înseamnă că există serii divergente pentru care.

Ca un exemplu, ia în considerare așa-numita serie armonica

Este evident că. Cu toate acestea, un număr (7) diverge. Vom arăta acest lucru.

Este cunoscut faptul că. Acest lucru implică faptul că pentru orice inegalitate. . Logaritmare acestei inegalitate vom ajunge la baza e:

Substituind în inegalitatea obținută alternativ n = 1, 2, ..., n - 1, n, obținem:

Adăugarea acestor inegalități pe termen de termen, obținem Deoarece, obținem t. Seria E. armonica (7) diverge.

Ca un al doilea exemplu se poate lua un număr

Aici. Cu toate acestea, această serie diverge.

t. e .. Prin urmare, seria diverge.