Convexitate și concavitate a graficului funcției
Programeaza o funcție diferențiabilă numită convex (sau în jos convex) peste intervalul xÎ(A; b). în cazul în care acesta este în orice tangentă pentru a programa în acest interval.
Funcția Program se numește concavă (sau convexă în sus), în intervalul xÎ(A, b), în cazul în care acesta se află sub nici o tangentă pentru a programa în acest interval.
punct Schema functionala. separa de partea convexă concavă se numește punct de inflexiune.
In cazurile cele mai simple, domeniul funcției poate fi împărțită într-un număr finit de intervale cu o direcție constantă a proeminenței.
la xÎ(A; x0) grafic concave, atunci când xÎ(X0; b) convex, M0 (x0, y0) - punct de inflexiune.
condiție suficientă pentru convexitate, concavitate.
În cazul în care funcția este de două ori derivabile și semnul său constantă pentru toate xÎ(A, b), graficul funcției are o direcție constantă de convexitate în acest interval:
la <0 – выпуклость вверх (вогнутость),
la> 0 - umflatura in jos, sau pur și simplu se umfle.
O condiție necesară pentru un punct de inflexiune.
În cazul în care X0 - abscisa punctului de inflexiune al graficului funcției. ceva sau nu există.
O condiție necesară nu este suficientă. Punctele care aparțin funcției grafice. care fie nu există, au chemat suspecte să se aplece.
condiție suficientă pentru ca un punct de inflexiune.
Dacă derivata a doua, în care trece prin punctul x0. suspecte să se aplece, semn de schimbare, punctul de grafic cu X0 abscisa este un punct de inflexiune. În cazul în care nici o schimbare semna atunci când trece prin X0. atunci nu inflexiune.
În exemplele următoare, necesare pentru a determina intervalele de punct de inflexiune și convexitatea și concavitatea grafice.
Domeniul funcției.
Verificăm condiție suficientă pentru convexitate, concavitate, puncte de inflexiune:
Când x = 1 și x = 3 au răsuciri, x = 0 nici o inflexiune.
Compute puncte de inflexiune Coordonate:
Grafic Convex la xÎ(- ¥; 1) și xÎ(3 + ¥), un grafic concavă la xÎ(1, 3).
Domeniul funcției: xÎ(- ¥ + ¥).
Ea nu există atunci când x = 0, dar își schimbă semnul ² + ² ²-² când trece prin x = 0. Prin urmare, graficul punctul (0, 0) este un punct de inflexiune la xÎ(- ¥; 0) graficul convex la xÎ(0 + ¥) - concave.
Se determină intervalele de convexitate și concavitate de grafice din următoarele funcții. Găsiți punctul de inflexiune.
1. y = 3x 3 -8x 4 + 6x 2 12;
2. y = x 3 -12x 2 + x-1;
1. Punctele de inflexiune și;
și atunci când un grafic concave,
atunci când un grafic este convexă.
2. Punctul de inflexiune;
când un grafic este concavă,
atunci când un grafic este convexă.
3. Punctul de inflexiune și;
și atunci când un grafic concave,
atunci când un grafic este convexă.
4. Punctul de inflexiune și;
și atunci când un grafic este convexă,
la graficul concav.
5. Punctul de inflexiune;
când un grafic este concavă,
atunci când un grafic este convexă.