Cum de a găsi punctele de inflexiune funcția

puncte peregibafunktsii trebuie să aparțină domeniului de definiția sa, care este necesar să se găsească în primul rând. Graful - o linie care poate fi continuă sau au lacune sau scad monoton creștere, au punctul maxim (asimptota) minimă sau, să fie convexă sau concavă. schimbare bruscă în ultimele două state și numit inflexiune.

Condiția necesară pentru punctele peregibafunktsii existență este derivata a doua egal cu zero. Astfel, dublu de diferențiere funcția și egalează expresia rezultată la zero, putem găsi abscisa de posibile puncte de inflexiune.

Această condiție rezultă din definiția proprietăților convexitate și concavitatea graficul funcției. și anume valoare negativă și pozitivă a derivatei a doua. Punctul de inflexiune este o schimbare bruscă a acestor proprietăți, prin urmare, derivatul devine zero. Cu toate acestea, egal cu zero, nu este suficient pentru a indica o curbă.

Există două suficiente indicii că a găsit în etapa anterioară aparține abscisă la punctul de inflexiune: După acest punct, puteți desena o tangentă la graficul funcției. Derivata a doua are semne diferite pe fiecare parte a tochkiperegiba intenționat. Astfel, existența sa nu este în mod necesar la punctul, este suficient să se determine că se schimbă derivatul znak.Vtoraya este zero, iar al treilea - nu.

Prima condiție suficientă este versatil și este folosit mai des decât altele. Să considerăm un exemplu ilustrativ: y = (x + 3 • 3) • ∛ (x - 5).

Domeniul Reshenie.Naydite. În acest caz, nici o limitare, prin urmare, este tot spațiul de numere reale. Calculati primii derivați de y „= 3 • ∛ (x - 5) + (3 • x + 3) / ∛ (x - 5) ².

Să acorde o atenție la apariția de fracțiuni. Din aceasta rezultă că domeniul derivatului este limitat. Punctul x = 5, este perforat și, prin urmare, se poate trece prin tangenta, care corespunde parțial primului criteriu de suficiență de inflexiune.

Se determină limitele unilaterale pentru expresia rezultată pentru x → 5 - 0 și x → 0 + 5 Ei sunt -∞ și + ∞. Ați dovedit că prin punctul x = 5 trece tangenta verticală. Acest punct poate fi un punct de inflexiune. dar mai întâi se calculează de-al doilea derivat y '' = 1 / ∛ (x - 5) ² + 3 / ∛ (x - 5) ² - 2/3 • (3 • x + 3) / ∛ (x - 5) 5 = (2 • x - 22) / ∛ (x - 5) 5.

Coborâți numitorul, deoarece punctul x = 5, pe care sunt luate în considerare. Rezolva ecuația 2 • x - 22 = 0. Are o rădăcină x = 11.Posledny pas unic - confirmând că punctul x = 5 și x = 11 sunt puncte de inflexiune. Analizează comportamentul derivata a doua in cartierele lor. Este evident că, la x = 5, se schimbă semnul „+“ la „-“, iar la x = 11 - dimpotrivă. Concluzie: Ambele puncte sunt puncte de inflexiune. Realizat prima condiție suficientă.