Funcțiile maxime și minime - studopediya

Un punct x0 se numește punct maksimumafunktsii y = f (x), în cazul în care există # 948; - vecinătate a lui x0, că, pentru toate x ≠ x0 a acestui cartier inegalitatea f (x)

În mod similar vom defini punctul de minim al funcției: X0 - tochkaminimumafunktsii dacă. Figura 8 X1- punct minim, iar punctul x2 - punctul maxim al funcției y = f (x).

Valoarea funcției la punctul maxim (minim mini) este mare (sau scăzută) funcția. Funcția maximă (minim) se numește funcția etsya extremelor.

Noțiunea de extremelor este întotdeauna asociat cu un anumit cartier al punctului din domeniul funcției. Prin urmare, funcția poate avea doar un extremum în definiția tochkahoblasti internă. Luați în considerare condițiile de funcții extreme de existență-TION.

Teorema (o condiție necesară pentru un extremum).

Dacă funcția diferențiabilă y = f (x) are un extremum la punctul x0, adevărat că derivatul său la acel moment este zero: f „(x0) = 0.

Geometric ecuația f „(x0) = 0 Ozna-chaet că extremum punctul meu de-diferențiabile funcția y = f (x) este tangent său grafic-ku paralel cu axa Ox (vezi. Fig. 9).

Rețineți că teorema inversă este falsă, adică, în cazul în care f „(x0) = 0, aceasta nu înseamnă că x0 - .. punctul extremum. De exemplu, pentru functia y = x 3 derivatul său

y „= 3 2 este zero la x = 0 până la x = 0 este un punct extremal (vezi. fig. 10).

Există funcții care sunt puncte de extremum nu sunt derivate. De exemplu, o funcție continuă la = | x | la punctul x = 0 nu are derivata, dar punctul x = 0 - punctul minim (a se vedea figura 11 ..).

Astfel, funcția continuă poate avea un extremum numai în punctele în care derivatul este zero sau nu există. Acestea sunt numite Cree-ICAL.

Teorema (condiție suficientă pentru ca un extremum).

Dacă funcția continuă y = f (x) este diferențiabilă în unele # 948; -vicinity punctul x0 critic și în tranziție prin ea (de la stânga la dreapta), derivatul f „(x) se schimbă splyusa la minus, atunci x0 este punctul maxim; de la minus la plus, apoi X0 - punctul de minim.

Pentru a investiga funcția extremelor este de a găsi toate ei extra-Muma.

Pentru a găsi un punct de extremum a acestei funcții, trebuie să:

1) găsi punctele critice ale funcției y = f (x);

2) selectați dintre ele numai acele puncte care sunt domeniul intern al funcției;

3) să examineze semnul f derivat „(x) pe fiecare parte a fiecăruia dintre punctele critice selectate;

4) în conformitate cu Teorema (condiție suficientă pentru ca un extremum) prescrie puncte extremum (dacă există), și se calculează valoarea unei funcții în ele.

Teorema. Dacă punctul x0 prima derivată a funcției f (x) este egal cu zero (f „(x0) = 0), iar al doilea derivat de la punctul x0 există și este diferit de zero (f "(x0) ≠ 0), apoi f"(x0 ) <0 в точке x0 функция имеет максимум и минимум - при f "( x0 )> 0.