geometria John

§ 13. Unghiul central. Măsurarea unghiurilor.

1. Unghiul central.

Unghiul central este unghiul format de două raze ale aceluiași cerc.

/ AOB - central (Fig 90.). Arc AB este numit corespunzător unghiului AOB centrale.






Unghiul complet corespunde întregii circumferințe.
colț Desfășurat corespunde unui arc egal cu jumătate din circumferință.
Unghi drept corespunde unui arc de cerc, egal cu 1/4 circumferința.

Teorema.Esli în același cerc de două centrale unghi sunt egale, egale, arcul corespunzător.

Să ne dovedesc acest lucru. Ia-un cerc, se va construi două centrale unghi egal (fig. 91). Fie / AOB = / COD. Rotire / AOV în jurul centrului O, este posibil să-l combine cu unghiul de cod, deoarece aceste unghiuri sunt egale între ele (această condiție este acceptată de noi). Dacă unghiurile AOB și COD compatibile, având în vedere egalitatea razelor și aliniați capetele arcelor AB și CD. (Punctul A aliniat cu punctul D, iar punctul B se aliniază cu punctul C.) Prin urmare, alinierea ei înșiși arc AB și CD, deoarece toate punctele arcele sunt la aceeași distanță de centru, r. F. AB = CD.

Să demonstrăm teorema convergentă.

Teorema. Dacă același cerc două arce sunt egale, egale și unghiuri centrale corespunzătoare.

De fapt, din moment ce arcul este arcul AB CD (fig. 91), arc AB, alunecare pe circumferință poate fi combinat cu un CD arc, punctele A și B, respectiv, se aliniază cu punctele D și C. Cu toate acestea, în acest caz, raza OD OA aliniat cu o rază, iar OB raza de funcționare raza r aranjați. e. un unghi egal cu unghiul AOB COD.

Aceste două teoreme sunt valabile pentru cercuri egale.

A doua teoremă se numește inversul primul deoarece prima teorema demonstrează egalitatea arcurilor, în cazul în care unghiurile centrale egale, în a doua teoremă, dimpotrivă, vom dovedi că unghiurile centrale, în cazul în care arce egale.

2. Măsurarea unghiurilor. Grade de arc și unghi.

Comparând unghiuri de magnitudine, am observat că unghiurile pot fi egale sau inegale. Unghiul poate fi egală cu directă mai directă, mai puțin directă. Cu toate acestea, ea ne dă o idee de magnitudinea unui unghi. colțuri ascuțite, cum ar fi greu de cap, poate diferi semnificativ de la un altul.

Pentru a determina mai exact cantitatea de colțuri, sunt folosite măsuri speciale de arce și unghiuri.

Pentru a măsura arcele sunt grade de arc, iar pentru măsurarea unghiuri - colțuri.

grade Arc sau grade de arc, numit o circumferință 1 / 360chast
(Fig. 92).

arc grad, la rândul său, este împărțit în 60 părți egale, numite minute de arc, și un minut este împărțit în 60 părți egale, numite secunde de arc.

În cazul în care arcul este, de exemplu, 25/360 cerc, arc cuprinde 25 de grade. Notată astfel: la 25 °. Dacă arcul conține 25 grade 40 minute și 15 secunde, este scris după cum urmează: 25 ° 40'15“.

La fiecare grade de arc corespunzând unui unghi central (fig. 92), care se numește gradul unghiular. Prin urmare, între numărul de grade unghiulare ale unghiului centrale și numărul de arc de grade arc său corespunzător există o potrivire: numărul de grade arc cuprinde un arc de un unghi central, același număr de grade unghiulare conține care corespunde unghiului centrul arcului, și, invers, cât de multe grade unghiulare cuprinde o centrală unghi, același număr de grade arc conține unghiul central al arcului. Noi spunem că unghiul central este măsurată prin arc pe care se bazează.

Cifra 93 prezintă două unghi central.

3 cuprinde un prim arc °, aceeași cantitate de grade unghiulare și cuprinde un unghi central. Al doilea cuprinde un unghi central de 8 °, același număr de grade de arc, și conține arcul corespunzător.

Această corespondență între numărul de grade unghiulare ale unghiului central și numărul de grade de arc a arcului corespunzător face posibilă măsurarea unghiurilor și să le construiască.

Studii angulară compus 1/360 parte din unghiul totală. Deoarece unghiurile complet sunt egale, atunci grade unghiulare sunt egale.

Unghiul neambalată de 180 de grade sexagesimale, un unghi drept este egal cu 90 de grade unghiulare. În caz contrar: gradul unghiular este 1/180 parte din unghi drept, sau 1/90 dintr-o porțiune de unghi drept.

grade unghi drept arc, divizat în 60 părți egale, numite minute, care, la rândul său, este de asemenea împărțit în 60 părți egale, numite secunde.

Diametrul Lunii este vizibil in jurul nostru, la un unghi de 30“. Ochiul uman poate vedea numai obiectele care sunt la un unghi mai mare de 1“. Prin urmare, mazăre o distanță de 1 km nu este vizibil pentru ochiul uman, deoarece unghiul de vedere în acest caz este mai mică de 1“.

Toate grade unghiulare sunt egale, dar acest lucru nu este gradele de arc (Fig. 94). Lungimea arcului Grade variază în funcție de lungimea razei.

Cu cât raza cercului, mai multe grade de lungimea arcului. De exemplu, lungimea de grade arc meridianul terestru (sau ecuatorială) este aproximativ 110 km.

grade Arc sunt doar într-un singur cerc și în circumferences egale.

Pentru măsurarea unghiurilor, precum și pentru colțuri de construcție există dispozitiv numit protractor (Fig. 95).

Acesta constă dintr-o linie pentru care un semicerc. Centrul semicercului a fost o ușoară tăietură sau atingere pe diametrul semicerc.

Arcul electric semicercului împărțit în grade de la 0 la 180 °.

4. Măsurarea unghiurilor folosind un echer.

măsurarea unghiului cu un echer urmează.

Să presupunem că vrem să măsoare / ABC (fig. 96).

Facem acest unghi central. Pentru aceasta este compatibilă cu partea de sus a centrului protractor / ABC (la punctul B). Direct diametrul de o parte a echer / ABC
(De soare), în timp ce celălalt colț lateral arată cât de multe grade de arc conține unghiul măsurat. În acest caz, ea cuprinde 52 °, prin urmare, / ABC este egal cu 52 de grade unghiulare. În figură, 97 prezintă măsurarea unghiului obtuz BOC. Unghiul BOC este de 120 °. Este înregistrată astfel: / ABC = 52 °, / BOC = 120 °.

5. Construcția unghiurilor folosind un echer.

Să presupunem că este necesar de a construi un unghi de 50 °, la vârful său de G și depusă pe OB lateral. Compatibil punct central O. Astfel echer, unghiul pe care o construim, nu centrepiece.

Directionati Diametrul echer OM drepte (Fig. 98) și citită pe dreapta echer arc de la zero la 50 °. Furnizăm la 50 ° C și un punct de conecta cu punctul O (unghiul la vârf). Obținem dorit / Cov, egal cu 50 °.

Dacă nu ne directă dat și nu este punctul, care ar trebui să fie partea de sus colțul specificat, ci pur și simplu a declarat: pentru a construi un unghi de 125 °, prima vom efectua o linie arbitrară și undeva pe ea să ia un punct O, care este luat ca vârful unghiului și, astfel, In mod similar vom construi un unghi dorit.

6. aproximativă diviziunea unghiului în părți egale.

Unghiul poate fi împărțită în mai multe părți egale cu un echer. În acest scop, este necesar să se măsoare unghiul, numărul de grade unghiul împărțit la acest număr de piese și de a construi unghiurile necesare.

1. Ce unghi sus mâini minut și oră la ora 1 după-amiaza (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ore)?

2. Desenați un unghi drept cu un raportor. Petreceți în ea de la faza de sus. Măsurate separat / 1 și / 2, găsi suma lor. Se calculează eroarea procentuală în raport cu un unghi drept (90 °).

3. Se măsoară unghiurile figurii, plasat în desen 99, și pentru a găsi suma lor.

4. Se măsoară unghiurile figurii, plasate în desen 100, și pentru a găsi suma lor.

5. construi mai multe unghiuri și împărțiți-le cu 2, 3, 4, 5 părți egale cu un echer.

Pentru măsurarea și construirea unghiurilor în teren sunt dispozitive speciale numite echer. Cel mai simplu dintre aceste dispozitive este astrolabul, schema sa simplificat prezentat în Figura 101.

Partea principală este cercul astrolab (membrelor) cu gradații de la 0 la 360 °. Pe axa care trece prin centrul cercului, a plantat un metal sau conducător de lemn, astfel încât să se poată roti în jurul axei sale. La capetele liniei sunt două dioptrică, care sunt utilizate pentru a stabili linia de la o anumită poziție. Un dioptrii numit de sticlă ochi vedere, are o fantă verticală îngustă. Într-un alt slot de dioptrii mai larg, este setat pe verticală de păr sau sârmă subțire. Aceasta se numește subiectul dioptrie. Linie cu dioptrii numit alidada. Marginile exterioare sunt teșite alidadei, iar acestea sunt indicii (accidente vasculare cerebrale sau proiecții) pentru divizia de referință a cercului.
Întregul aparat este montat pe un trepied.

Pentru cercul astrolab (membrelor) a luat o poziție orizontală, ceea ce este important pentru precizia în unghiuri de măsurare, se utilizează un dispozitiv special numit un nivel (Fig. 102).

Principala parte a nivelului este un tub de sticlă, etanșat la ambele capete. Acest tub este umplut cu un alcool sau eter; Mai mult decât atât, tubul este lăsat o bulă mică de aer. Când a pus pe un plan orizontal nivel, bula de aer va fi în mijlocul tubului; în cazul în care planul nu este orizontal, apoi bula de aer se va muta la un capăt al tubului. Nivelul este setat pe membrul cel puțin în două direcții diferite. Astfel, prin observarea poziției bulei de aer, este posibil să se stabilească dacă acest plan orizontal, sau va avea o prejudecată într-o direcție sau alta.

Pentru o mai mare durabilitate și ușurința de telefon la nivel de dispozitiv este cadru metalic, care a lăsat-o fereastră mică pentru a monitoriza poziția unei bule de aer. Nivelul consolidat pe o placă metalică. Uneori, roata Astrolabe de suprafață fixată în siguranță două niveluri în diferite napravleniyax.

Nivelul aplicabil și ca o unitate independentă, cu care puteți verifica levelness oricărui plan sau o linie dreaptă.

Atunci când se efectuează lucrări de construcții nivel este adesea folosit în locul unui dispozitiv mai simplificat numit un nivel de spirit (Fig. 103). Se compune din două șipci de lemn, conectate la unghiuri drepte. Pe una dintre benzile agățat cordon cu o greutate mică (plumb).

În cazul poziției orizontale a planului verificat verticalizare coincide cu cureaua atunci când planul orizontal nu verificabil, un fir cu plumb se abate de la această direcție (Fig. 104).

9. Unghi de măsurare folosind Astrolabe.

Să presupunem că doriți să măsoare unghiul ACB în teren (fig. 105).

O notă unghi la vârf (punctul C), peg lungi de 25-30 cm, cu trepied astrolab plasat deasupra punctului C, astfel încât firul cu plumb suspendat din centrul cercului, situat chiar deasupra peg proeminente de la sol, și planul astrolab cerc este orizontală.

După acest alidada este setat astfel încât poziția sa a coincis cu unul din CA sau CB zone, cum ar fi direcția SA. stabilită inițial alidada pe ochi, și apoi, se uită la fanta îngustă a dioptria ochiului, pentru a muta alidada pana cand parul obiect dioptriilor închide obiectul A. După acest punct divizia de cerc, față de care este un pointer la una dintre cele două dioptrii.

Apoi alidadei setați direcția de NE și de sărbători divizare cerc, împotriva căruia este un pointer la aceeași dioptrul.

Numărările de diferență și dă unghiul dintre CA și CB, t. E. Unghiul ACB (Fig. 106).
Dacă citirile de la A și B vor fi pe laturile opuse ale zero, atunci unghiul poate fi definit pe etichete opuse alidadei.
Dispozitivul descris mai sus oferă o precizie mică.

Pentru a îmbunătăți precizia de măsurare folosind instrumente mai sofisticate. În figură, 107 prezintă unul dintre aceste dispozitive (teodolit).

1. La măsurarea unghiului prin astrolab primit citirile de 25 ° și 75 °. Care este unghiul măsurat?

2. La măsurarea unghiului folosind citirile obtinute astrolab 35 ° și 340 °. Care este unghiul măsurat?