O colecție de probleme de algebra

Gradul cu exponenți raționale,

Funcția de alimentare IV

§ 80. Eliminarea rădăcina de grad.
Ridicarea rădăcinii în măsura
Scoaterea rădăcinii de la rădăcină

Lăsați un - întreg pozitiv arbitrar, și m și n - numere întregi, în care m este divizibilă cu n. atunci

De exemplu, √ 3 5 6 = 5 2 = 25; 4 √ 3 12 = 3 3 = 27.

Cu alte cuvinte, teorema următoare este adevărată.

Teorema 1. Pentru a extrage rădăcina unui număr pozitiv, din care rata este divizibil cu indicele de rădăcină figura destul de radicand împărțit prin indicele rădăcină, lăsând baza puterii la fel.

Dovada. Pe baza regulilor de construcție a gradului de putere avem:

Dar acest lucru înseamnă că

Teorema 2. La rădăcina unui număr pozitiv ridicat la puterea, este suficient pentru a construi în acest grad radicand, lăsând indicele rădăcină neschimbat. adică atunci când a> 0

Dacă n - număr impar, ecuația (2) deține o <0.

Exemple: (4 √ 2) 3 = 4 3 2 √ √ 4 = 8;

(6 √ 16) 6 3 = 16 3 = √ √ 6 2 12 = 2 2 = 4;

(3 √ - 2) 5 = 3 √ - 2 5 = 3 √ - 32.

Teorema rădăcină 3.Velichina unui număr pozitiv nu se schimbă dacă rădăcina performanței și expresiei radical înmulțit cu același număr întreg pozitiv sau împărțit la factorul lor comun.

Cu alte cuvinte: 1) în cazul în care un> 0, și m, n, k - numere naturale,

Dovedește (3) - ceea ce înseamnă a arăta că

Prin regula de construcție a puterii rădăcinii

Ecuația (4) rezultă cu ușurință de la (3), oferă studenților verifica în mod independent acest lucru.

Exemple. 4 = 3 √ √ 8 3 2, 3 2 2 = √ √ 9 februarie 6; 15 √ 10 = 3 √ un 2

Teorema 4. Pentru a elimina rădăcina rădăcinii, este suficient să se înmulțească performanța acestor rădăcini, fără a schimba numărul rădăcinii pătrate, adică,

Dovada. Teorema

dimensiunea rădăcină nu se schimba în cazul în care indicele de rădăcină și indicele radicand împărțit la mai multe comune (Teorema 3); totuși nm √ o = m √ o.

Dar, prin definiție, rădăcina acest lucru înseamnă că