Reguli pentru construirea patrate magice compilație de pătrate magice

După câțiva ani, cu părinții mei, m-am dus la mare cu fata care era pasionat de Sudoku. De asemenea, am vrut să învețe, și ea a explicat cum să o facă. Această lecție Chiar mi-a plăcut, și a devenit așa-numitul meu hobby.

Odată ce am fost oferit să participe la conferința științifico-practică, am ales imediat tema „pătrate Magic“. În această lucrare am inclus materiale istorice, soiuri, reguli pentru crearea joc de puzzle.
pătrat magic.

Magic sau pătrat magic este un numar matrice pătrată n umplut, astfel încât suma numerelor din fiecare rând, fiecare coloană, iar pe ambele diagonale este aceeași. Normal este numit pătrat magie, umplut cu numere întregi de la 1 la n.

pătrate Magic există pentru toate comenzile, cu excepția n = 2, deși cazul n = 1 este banal - pătrat constă dintr-un singur număr.

Suma numerelor din fiecare rând, coloană și diagonală. Se numește numere magice. M. magie constantă pătrat magie normală depinde numai de n, și date de Eq.

Acest tabel are o proprietate remarcabilă. Adăugarea numărul primei coloane: 4 + 3 + 8 = 15.tot același rezultat este obținut prin adăugarea numărului de a doua și a treia coloană, precum și. Acesta se obține prin adăugarea de numere de la oricare dintre cele trei rânduri. Nu numai acest lucru, se obține același răspuns 15 în cazul în care numărul de pliat fiecare dintre cele două diagonale: + 5 + 4 6 = 8 + 5 + 2 = 15.

Poate că această legendă chinezii au venit cu atunci când am găsit locația numerele 1 - 9 cu o astfel de proprietate remarcabilă. Figura ei au numit „lo-shu“ și a fost văzut ca un simbol al magiei sale și vrăji pentru a utiliza la. Deci, acum fiecare masă pătrat format din numere și are proprietatea numit pătrat magie.

SQUARE găsite în Khajuraho (India).

Cea mai veche piață magică unică se găsește în inscripția secolului al XI-lea în orașul indian Khajuraho.

Aceasta este prima pătrat magie, referindu-se la varietatea de așa-numitele pătrate „diabolice“.

Magic Quadrant Yan Hueya (China)

În matematician secolul XIII Yan Huey a preluat problema metodelor de construire patrate magice. Studiile sale au fost apoi continuată de alți matematicieni chinezi. Yan Huey considerate pătrate magice nu sunt doar a treia, dar ordinele mari.

Unele dintre pătrate sale sunt destul de complexe, dar el a dat întotdeauna regulile pentru construcția lor. El a fost capabil să construiască un pătrat magic al ordinului sasea.

Pătratul Albrehta Dyurera

4x4 pătrat magie prezentat în A. Durer gravura „Melancolia I», este considerat a fi cel mai devreme în arta europeană. Două numere de mijloc din rândul de jos indică data de creare a imaginii (1514)

Suma numerelor în orice orizontală, verticală și diagonală egală cu 34. Această sumă se regăsește în toate colțurile pătratului 2x2, într-o piață centrală (10 + 11 + 6 + 7), pătrat celulelor de colț (16 + 13 + 4 + 1), în pătrate construite "leagăn cal" (2 + 8 + 9 + 15 și 3 + 5 + 12 + 14), dreptunghiurile formate din perechi de celule secundare pe laturile opuse ale (3 + 2 + 15 + 14 și 5 + 8 + 9 + 12) .Cele mai multe simetrii suplimentare asociate cu faptul că suma oricăror două central aranjate simetric numere egal cu 17.
Pătrate Henry E. Dudeney și Allan W. Johnson ml.

Dacă o matrice pătrată de n x n este stocat numere naturale vag, apoi magia pătrat - neconvențional. Mai jos sunt două astfel de pătrate magice pline cu numere prime cea mai mare parte. Primul (Figura 3) are ordinul n = 3 (pătrat Dudeney); al doilea (Fig.4) (4x4) - pătrat Johnson. Ambele au fost dezvoltate la începutul secolului al XX-lea.

pătrat magia Diavolului

Devil Magic pătrat - pătrat magic, care coincide, de asemenea, cu suma constantă magică a numerelor de diagonală rupte (diagonală, care sunt formate prin plierea unui pătrat în torr), în ambele direcții.

Aceste piețe sunt, de asemenea, numite pandiagonalnymi.

Există 48 de pătrate magice diabolice 4x4 până la rotații și reflecții. Dacă luăm în considerare mai multe și mai simetrie - traduceri paralele torice, atunci nu va fi doar 3 pătrat în mod semnificativ diferite:

Cu toate acestea, sa dovedit că (Figura 7) rearanjarea simplă a numerelor devine din primele două pătrate (Figura 5, 6). Aceasta este a treia variantă este baza pătrată diabolice, din care diferitele transformări se pot construi tot restul.

pătrate Pandiagonalnye sunt pentru ordine impar n> 3, în orice ordine paritate dublu n = 4k (k = 1,2,3 ...) și nu există pentru o singură paritate ordinul n = 4k + 2 (k = 1,2,3 ...) .

pătrate Pandiagonalnye de ordinul al patrulea au o serie de proprietăți suplimentare pentru care acestea sunt numite perfecte. pătrate perfecte Pandiagonalnyh de ordine ciudat nu există. Printre pătrate pandiagonalnyh paritate de mai sus 4 sunt perfecte.

pătrate Pandiagonalnyh cincea ordinul 3600. Având în vedere traducerile paralele torice are 144 pătrate pandiagonalnyh diferite. Unul dintre ele este prezentat mai jos.

Reguli pentru construirea pătrate magice

Gaseste toate patrate magice de ordinul n este posibilă numai, n = 3,4 sunt, prin urmare, de mare interes, în special procedura de construire patrate magice pentru n> întreaga 4.Prosche de proiectare pentru pătrat magic ordine ciudat. Ar trebui să fie într-o cușcă cu coordonatele (x, y) a pus numărul.

Chiar și mai ușor de a efectua construcția următoarele, n matricea x n.Vnutri diamant sale etape construit. Acesta a părăsit celula până serie secvențială în diagonală umplut de numere. Valoarea determinată a celulei C. centrale

Apoi, în colțuri magice ale valorilor pătrate sunt după cum urmează: celula din dreapta sus C-1; inferior cu celule C stânga + 1; Cu dreapta jos celula-n; partea din stânga sus celulă C + n.

Compilație patrate magice.

Cum, atunci, face patrate magice?

Crearea pătrat magic "Lo Shu".

Sarcină. pătrat 3x3, format din cifrele de la 1 la 9, astfel încât suma numerelor din fiecare rând, coloană și diagonalele sunt egale.

Soluție: Vom rezolva problema fără a recurge la cea de sortare de către unul toate permutările de 9 cifre 9 celule (numărul de astfel de aranjamente de aceeași 362880). Susținem. Suma tuturor numerelor la 1 la 9: 2 + 1 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45. Aceasta înseamnă, în fiecare rând și în fiecare coloană trebuie să fie egal cu suma numerelor: 45: 3 = 15. Dar, dacă rezuma toate numerele în al doilea rând și coloană și ambele diagonale, fiecare număr va merge în jos o singură dată, cu excepția centrului, care va intra în patru ori. Prin urmare, dacă notăm cu x numărul central atunci egalitatea * 15 = 4 3 * 15 + 3. Prin urmare, x = 5, adică în centrul mesei trebuie să fie numărul 5.

Acum, rețineți faptul că numărul 9 nu poate sta în colțul mesei, de exemplu, în colțul din stânga sus. Până la urmă, în timp ce în colțul opus se afla la numărul 1, și pe primul rând și coloană ar rămâne o singură combinație - numerele 4 și 2. Acest lucru înseamnă că 9 reprezintă în mijlocul unor rânduri extreme sau coloane (aici, în mijlocul primului rând). Două alte numere de rânduri sunt 4i2, iar a treia coloană numărul mediu trebuie să fie 1 = 05/09/15. În aceeași linie 1 ar trebui să fie numărul 8 și 6. Astfel, pătrat magic este aproape completă și ușor de a găsi un loc pentru numerele rămase. Rezultatul este pătrat de „Luo Shu.“

Desigur, pentru 9 pentru a selecta alte trei locuri, iar după selectarea unui loc pentru acest număr sunt două posibilități pentru dispunerea numerelor 4 și 2. obținute total de 4 * 2 = 8 patrate magice diferite de trei rânduri și trei coloane (sau, ca matematica pătrate de al treilea ordin). Toate aceste pătrate pot fi găsite la „Lo Shu“ sau de cotitură pătrat pe 180.90 sau 270. O altă opțiune posibilă oglindire.

Crearea pătrat de magie

Obiectiv: Crearea unui pătrat 4x4 magie de numere de la 1 la 16, astfel încât suma numerelor din fiecare rând, coloană și diagonalele sunt egale.

Decizie. Suma tuturor numere de la 1 la 16: 2 + 1 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 136. Aceasta înseamnă, în fiecare rând și în fiecare coloană trebuie să fie egal cu suma numerelor: 136: 34 = 4. Dar, dacă rezuma toate numerele, și în al doilea rând, în rândul și coloana și ambele diagonale, fiecare număr va merge în jos o singură dată, cu excepția centrale, care vor fi incluse de două ori. Aceste numere vor 10,11,6,7. După aceea vom livra numărul rămas de celule rămase în 1,2,3,4,5,8,9,12,13,14,15,16

Pătratul Albrehta Dyurera
Sudoku.

Tradus din „numărul“ japonez „su“ înseamnă și „dock“ - „în picioare singur.“

Nu este nevoie să ghicească sau picurare în cărți - numai logica si atentia!

Obiectiv: Pentru a umple celulele goale cu numere de 1 la 9, astfel încât orice rând și orice coloană, în fiecare din cele 9 blocuri de 3x3 cifra nu se repetă.

Să ne uităm la un număr dedicat. Îi lipsesc doar două cifre: 1 și 2.Vzglyanem prima celulă goală la dreapta. Putem scrie acolo unul? Nu. Deoarece această coloană 1 este deja acolo, și a repetat aceste numere într-o coloană nu poate. Deci, în această celulă, putem intra doar 2 pentru a face acest lucru. Acum trebuie doar să introduceți numărul 1 în gol, ultima celulă din rândul, și numărul de umplut.

Pentru a face chiar mai interesant, puteți crea un Sudoku la diferite niveluri de dificultate:

-Usor *, ** - mediu, *** - dificil, **** - foarte dificil, **** - superslozhnyh.

Diferența în nivelurile este faptul că numărul de cifre din bloc crește.

În primul rând - nu au număr suficient de 2.3.

II - 4, al treilea - 5,4, a patra - 6, a cincea - 6.7.

Celulele negre sunt numite Kakuro legenda. Ele sunt separate printr-o bară oblică și conține una sau două numere. Numărul din colțul din dreapta sus aparține celulei adiacente orizontale unitate (A), iar în partea din stânga jos - pentru verticală (B).

Obiectiv: Pentru a intra în celule goale cu numere de la 1 la 9tak că suma lor corespundea sumei în blocul în legenda. Unitatea nu poate fi de două cifre identice! Astfel, numărul 4 din legenda poate sta doar la 1 martie, în loc de cifre 2 și 2.

În primul rând, verificați cantitatea mică - este ușor să se descompună la numerele. Pentru a începe cu 3. În acest caz, combinațiile pot fi fie „1 + 2“, sau „2 + 1“. În al treilea rând, desigur, nu este dat.

4 poate corespunde numărului de combinații de "1 + 3" sau "3 + 1" (dar nu 2 + 2). Deci, în primul câmp poate fi numai numărul 1. Acum putem umple corect ambele unități: „1 + 2“ și „1 + 3“.

Să ne uităm la 4 în ultima legenda. Aplicările prezentei invenții sunt aceleași: "3 + 1" și "1 + 3". Numărul 3 din blocul orizontal este deja acolo, iar singura soluție posibilă - numărul 1.

Și acum putem umple toate celelalte celule. Sfat: se potrivește în colțurile posibile combinații de numere de celule, și ca umplutură cruce din numere, care nu sunt incluse.

(CENTRUL REGIONAL PENTRU HAR copii și tineri.

runda internă a concursului „Young expert în matematică“

In piata compus din 9 celule, pentru a plasa un număr de la 1 la 9, astfel încât suma numerelor din fiecare rând vertical în fiecare rând orizontal și la orice diagonală sunt egale.

Crearea de munca mea, am extins cunoștințele mele despre conceptul de pătrate magice, pe regulile de creare a lor, să învețe istoria de modul în care acestea sunt create, a învățat o mulțime de cuvinte noi învățat să lucreze cu literatura de specialitate, a rezolva și de a crea patrate magice.

IY Depman; N.Ya.Vilenkin „Pentru paginile de matematică manual“

București "Iluminare", 1989.

VP Trutnev "Gândiți-vă, rezolva, ghici!" București "Luminilor", 1970.

"Lisa" (puzzle-uri, Sudoku, Kakuro)

articole anterioare

articolul următor

Toate materialele care intră în secțiunea „Alte eseuri“

Mulțumesc mult. informații foarte interesante despre pătrate magice.