Tipuri de puncte de discontinuitate

Continuitatea functiilor: concepte de bază și proprietăți

Definiția. Să presupunem că la un anumit interval determinat funcția f (x) și x0 - punct al intervalului. În cazul în care, atunci f (x) se numește continuă în punctul x0.






Din definiția rezultă că continuitatea poate vorbi numai la acele puncte la care este determinat f (x) (determinarea limitei funcției unor astfel de condiții nu sunt plasate). Pentru funcții continue, adică, operațiunea f și naveta. Prin urmare, cele două definiții ale limitei unei funcții într-un punct poate da două definiții de continuitate - „în limba secvențelor“ și „în limbajul inegalităților“ (în limba # 949 - # 948;). Se propune să facă acest lucru pe cont propriu.
Pentru utilizarea practică este uneori definiție mai convenabilă a continuității în limba incrementelor.
valoare # 916; x = x-x0 se numește incrementul argumentului și # 916; y = f (x) -f (x0) - funcția increment în tranziția de la punctul x0 la un punct x.
Definiția. Fie f (x) este definit la punctul x0. f funcție (x) se numește continuă în punctul x0. dacă incrementul infinitezimal a argumentului în acest punct corespunde cu o creștere infinitezimal a funcției, și anume, # 916; y → 0, # 916; x → 0.

Exemplul 1. Demonstrați că funcția y = continuu sinx pentru orice valoare a lui x.
Decizie. Fie x0 - un punct arbitrar. Dându-i o creștere # 916; x, vom obține punctul x = x0 + # 916; x. Apoi. Noi primim.
Definiția. Funcția y = f (x) se numește continuă la dreapta punctului x0 (stânga), în cazul în care
.
Funcția continuă la un punct interior va fi, în același timp, în dreapta și stânga continuă. Converse este de asemenea adevărat: în cazul în care funcția este continuă la stânga și la dreapta, atunci este continuă, în acest moment. Cu toate acestea, funcția poate fi continuă numai dintr-o parte. De exemplu, la ,, f (1) = 1, prin urmare, această funcție este continuă numai pe stânga (vezi graficul acestei funcții. Deasupra la punctul 5.7.2).
Definiția. Funcția se numește continuă pe un interval în cazul în care este continuă în fiecare punct al acestui interval.
În special, dacă un interval este intervalul [a, b] continuitate unilaterală, care, la capetele sale se înțelege.

Proprietățile funcțiilor continue

1. Toate funcțiile elementare sunt continue în domeniul său.
2. Dacă f (x) și # 966; (x), la un interval predeterminat, sunt continue la punctul x0 acestui interval, atunci la acest punct va funcționa, de asemenea, continuă.
3. Dacă y = f (x) este continuă în punctul x0 X, și z = # 966; (y) este continuă în punctul y0 corespunzător = f (x0) din Y, iar funcția de compozit z = # 966; (f ( x)) este continuă în punctul x0.

Funcții Lacune și clasificarea acestora

Funcția Sign continuitate f (x) la x0 este egal, ceea ce implică existența a trei condiții:
1) f (x) este definit la punctul x0;
2);
3).
În cazul în care cel puțin una dintre aceste cerințe sunt încălcate, atunci x0 este un punct de discontinuitate. Cu alte cuvinte, punctul de spargere este un punct în care această funcție nu este continuă. Din definiția punctelor de pauză implică faptul că punctele de discontinuitate ale funcției sunt:
a) punctele aparținând domeniului funcției, în care f (x) își pierde proprietatea de continuitate,
b) nu punctele aparținând domeniului f (x), care sunt adiacente la două puncte lacune domeniul functiei.
De exemplu, pentru punctul funcției x = 0 este punctul de discontinuitate, deoarece funcția în acel moment nu este determinată, iar funcția are o discontinuitate în punctul x = 1, care este adiacent la două intervale (-∞, 1) și (1, ∞) domeniu f (x) nu există (a se vedea punctul 5.7.2).
Următoarea clasificare este adoptată pentru punctele de pauza.






1) În cazul în care punctul final și sunt, dar f (x0 +0) ≠ f (-0 x0), atunci x0 este un punct de discontinuitate de primul tip. în acest caz, numit funcția de salt.

Exemplul 2. Se consideră funcția
Decalajul poate funcționa doar la punctul x = 2 (în alte puncte este continuu ca fiecare polinom).
Ne găsim. Deoarece limitele finite cu o singură față, dar nu egale între ele, punctul x = 2, funcția de primul tip are un decalaj. Rețineți că, prin urmare, funcția în acest moment este continuu cu dreapta (fig. 2).
2) Punctele de discontinuitate al doilea tip menționat la un punct în care cel puțin una dintre limitele este ∞ unilaterală sau nu există.

Exemplul 3. Funcția y = luna februarie 1 / x este continuă pentru toate valorile lui x, cu excepția x = 0. Ne găsim limite față :, deci x = 0 - punct de pauză al doilea tip (Fig 3).
3) Punctul x = x0 este un punct de discontinuitate de unică folosință. dacă f (x0 +0) = f (x0 -0) ≠ f (x0).
Gap „elimina“, în sensul că este suficient să se schimbe (extinde definiția sau suprascrie) valoarea funcției în acest moment, lui, iar funcția va fi continuă în punctul x0.
Exemplul 4. Se cunoaște faptul că această limită este independentă de aspirație x la zero. Dar funcția de la x = 0 nu este definit. Dacă definim funcția prin setarea f (0) = 1, atunci ar fi continuu în acest moment (la celelalte puncte este continuu ca raportul funcțiilor continue și sinx x).
Exemplul 5. Testul pentru funcția continuitate.
Decizie. Funcția y = x 3 și y = 2x definit și continuu peste tot, inclusiv în interstițiile spus. Noi investigăm punctul comun al intervalului x = 0:
, , . Constatăm că, ceea ce implică faptul că punctul x = 0 este continuu.
Definiția. Funcția este continuă peste golul cu excepția unui număr finit de puncte de discontinuitate ale primului tip sau discontinuitatea amovibil se numește continuă în acest porțiuni interval.

Exemple de funcții discontinue

Exemplul 1. Funcția definită și continuă pe (-∞, + ∞), cu excepția punctului x = 2. Definiți tipul de discontinuitate. Deoarece ambele, punctul x = 2 a doua discontinuitate (Fig. 6).
Exemplul 2. Funcția este definită și continuă pentru toate x, cu excepția x = 0, unde numitorul este zero. Ne găsim limitele pe o față la x = 0:

Limitele sunt finite unilaterale și distincte, prin urmare, x = 0 - primul punct ordine discontinuitate (Figura 7.).
Exemplul 3. Se determină la ce puncte și ce fel de lacune are o funcție
Această funcție este definită pe [-2,2]. De la 1 x 2 / x, respectiv continuu în intervalul [-2,0] și [0,2], diferența poate fi în joncțiune lacune, adică la punctul x = 0. De atunci x = 0 este un punct de discontinuitate al doilea tip.

Exemplul 4. poate elimina funcțiile discontinuități:
a) în punctul x = 2;
b) la punctul x = 2;
c) la x = 1?
Decizie. Exemplu a) este posibil imediat să spunem că decalajul f (x) x = 2 nu poate fi eliminată, deoarece în acest moment limitele sided fără sfârșit (vezi. Exemplul 1).
b) g Funcție (x) la un finite limite laterale la punctul x = 2

dar ele nu se potrivesc, astfel încât diferența este, de asemenea, imposibil de îndepărtat.
c) Funcția # 966; (x) la x = 1, decalaj are un egal unilateral limite finite :. În consecință, diferența poate fi eliminată prin redefinirea funcției x = 1, dacă am stabilit f (1) = 1 în loc de f (1) = 2.

Exemplul 5. Arătați că funcția Dirichlet

discontinuă la fiecare punct al axei reale.
Decizie. Fie x0 - orice punct (-∞, + ∞). În orice cartier există atât punct rațional și irațional. Prin urmare, în fiecare cartier funcția X0 va avea valori 0 și 1. În acest caz, nu poate exista nici o funcție limită la punctul x0 nici în stânga, nici dreapta, atunci funcția Dirichlet la fiecare punct al liniei reale are discontinuități de al doilea tip.

Exemplul 6. Găsiți punctul de discontinuitate

și de a determina tipul lor.
Decizie. Punctele de puncte de ruptură suspectate sunt x1 = 2, x2 = 5, x3 = 3.
La punctul x1 = 2 f (x) are oa doua discontinuitate ordine, deoarece
.
Punctul x2 = 5 este punctul de continuitate, deoarece valoarea funcției în acest moment și în imediata apropiere a acestuia este determinată de a doua linie, în loc de primul :.
Examinați x3 = punctul 3 :, ceea ce implică faptul că x = 3 - primul tip de punct de spargere.

Pentru soluțiile independente.
Pentru a investiga funcția pentru a determina tipul de puncte de continuitate și discontinuitate:
1); Răspuns: x = -1 - punct de discontinuitate amovibil;
2); A: Gap al doilea tip, la punctul x = 8;
3); Raspuns: Primul tip de pauză la x = 1;
4)
A: La punctul x1 = -5 discontinuitate detașabil x2 = 1 - a doua discontinuitate ordine la punctul x3 = 0 - întâi discontinuității ordine.
5) Cum ar trebui să aleg un număr A, funcția

Ar fi continuu la x = 0?
Răspuns: A = 2.
6) Este posibil să se aleagă numărul unei astfel încât funcția

Ar fi continuu la x = 2?
Răspunsul este nu.

Având în vedere o y funcție = f (x), și două argument valori x1 și x2. Necesită: 1) verifica dacă funcția este continuu sau discontinuu din valorile date ale argumentului; 2), în caz de ruptură pentru a determina ce fel este; 3) toate argumentele pentru a justifica.
, x1 = 1, x2 = 3
soluţie:
a)
finit la tracțiune și număr egal. Prin urmare, la punctul x1 este continuă.

b)

Limita în punctul x = 3 există. Prin urmare, în acest moment funcția are o discontinuitate. Deoarece una dintre limitele este infinit, atunci punctul de discontinuitate al doilea tip.