Funcția extremelor, crește și descrește

Funcția y = f (x) se numește creștere (descreștere) un anumit interval de timp, în cazul în care x1 f (x2)).

Dacă funcția diferențiabilă y = f (x) în intervalul [a. b] crește (scade), derivatul pe acest interval f „(x)> 0

punctul Ho se numește un maxim local (minim) al funcției f (x), în cazul în care există o vecinătate Ho. pentru toate punctele unde inegalitatea f (x) ≤ f (Ho) (f (x) ≥ f (Ho)).

Punctul maxim și minim de puncte sunt numite extreme. și valorile funcției de la aceste puncte - extremele ei.

punctul extremum

Condițiile necesare pentru un extremum. Dacă Ho este un extremum punct al funcției f (x), atunci fie f „(Ho) = 0 sau f (Ho) nu există. Aceste puncte sunt numite critice, iar funcția este determinată la punctul critic. Extremele funcții se găsesc printre punctele sale critice.

Prima condiție este suficientă. Să Ho - un punct critic. Dacă f „(x) atunci când trece prin punctul Ho schimbă semnul de la plus la minus, apoi la punctul de funcția Ho are un maxim, în caz contrar - cel puțin. Dacă trec prin punctul critic al derivatului nu se schimbă semnul, apoi la punctul Ho nu este extremelor.

A doua condiție suficientă. Lăsați funcția f (x) are un derivat
f „(x) într-un cartier al Ho și al doilea derivat de la punctul Ho. Dacă f „(x n) = 0,> 0 ( <0), то точка xо является точкой локального минимума (максимума) функции f ( x ). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

Pe intervalul [a, b] funcția y = f (x) poate ajunge la cea mai mică sau cea mai mare valoare sau punctele critice sau segmentele de la capete [a, b].

Exemplul 3.22. Găsiți extremelor funcției f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Decizie. Deoarece f „(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6 (x -2) (x - 3), punctele critice ale 2 și x1 = x2 = 3. extremele poate fi doar la aceste puncte. Deci, pe măsură ce trece prin punctul x1 = 2 modificări derivate semn de la plus la minus, apoi la acest punct funcția are un maxim. La trecerea prin punctul x2 = 3 modificări derivate semn de la minus la plus, astfel încât la punctul x2 = 3 pentru funcția de cel puțin. Calcularea valorilor funcției de la punctele
x1 = x2 = 2 și 3, găsim extremele funcției: maxim de f (2) = 14 și minimum f (3) = 13.

Problema de a găsi extremelor funcției

Exemplul 3.23. Avem nevoie pentru a construi o zonă dreptunghiulară lângă peretele de piatră, astfel încât pe trei laturi a fost împrejmuite cu plasă de sârmă, iar a patra parte este adiacent la perete. Pentru a face acest lucru, există o metri liniari de net. La ce platformă raport de aspect va fi cea mai mare suprafață?

Decizie. Notăm pad lateral prin x și y. Dimensiunea Pad este S = xy. Să y - este lungimea laturii adiacente peretelui. Apoi, prin ipoteză 2x egalitate + y = a. Prin urmare, y = a - 2x și S = x (a - 2x), unde
0 ≤ x ≤ a / 2 (lungime pad și lățime nu poate fi negativă). S „= a - 4x, o - 4x = 0 pentru x = a / 4 unde
y = a - 2 × a / 4 = a / 2. Deoarece x = a / 4 - singurul punct critic, vom verifica dacă modificările derivate semneze atunci când trece prin acel punct. Când xa / 4, S '> 0 si x> a / 4, S' <0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 ( кв. ед ). Поскольку S непрерывна на [0, a /2] и ее значения на концах S(0) и S( a /2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Exemplul 3.24. Necesară pentru a produce un rezervor cilindric închis cu o capacitate V = 16, p ≈ 50 m 3. Care trebuie să fie dimensiunile rezervorului (raza R și înălțimea H), pentru materialul său de fabricație a mers cele mai puține?

Decizie. Suprafața totală a suprafeței cilindrului este egală cu S = 2 p R (R + H). Știm volumul cilindrului V = p R 2 H Þ N = V / p R2 = 16 p / p R2 = 16 / R 2. Prin urmare, S (R) = 2 p (R2 + 16 / R). Am găsit derivata acestei funcții:
S „(R) = 2 p (2R- 16 / R2) = 4, p (R- 8 / R2). S „(R) = 0 când R3 = 8, prin urmare,
R = 2, n = 16/4 = 4.

Exemplul 3.22. Găsiți extremelor funcției f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Decizie. Deoarece f „(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6 (x -2) (x - 3), punctele critice ale 2 și x1 = x2 = 3. extremele poate fi doar la aceste puncte. Deci, pe măsură ce trece prin punctul x1 = 2 modificări derivate semn de la plus la minus, apoi la acest punct funcția are un maxim. La trecerea prin punctul x2 = 3 modificări derivate semn de la minus la plus, astfel încât la punctul x2 = 3 pentru funcția de cel puțin. Calcularea valorilor funcției de la punctele
x1 = x2 = 2 și 3, găsim extremele funcției: maxim de f (2) = 14 și minimum f (3) = 13.

Exemplul 3.23. Avem nevoie pentru a construi o zonă dreptunghiulară lângă peretele de piatră, astfel încât pe trei laturi a fost împrejmuite cu plasă de sârmă, iar a patra parte este adiacent la perete. Pentru a face acest lucru, există o metri liniari de net. La ce platformă raport de aspect va fi cea mai mare suprafață?

Decizie. Notăm pad lateral prin x și y. Dimensiunea Pad este S = xy. Să y - este lungimea laturii adiacente peretelui. Apoi, prin ipoteză 2x egalitate + y = a. Prin urmare, y = a - 2x și S = x (a - 2x), unde
0 ≤ x ≤ a / 2 (lungime pad și lățime nu poate fi negativă). S „= a - 4x, o - 4x = 0 pentru x = a / 4 unde
y = a - 2 × a / 4 = a / 2. Deoarece x = a / 4 - singurul punct critic, vom verifica dacă modificările derivate semneze atunci când trece prin acel punct. Când xa / 4, S '> 0 si x> a / 4, S' <0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 ( кв. ед ). Поскольку S непрерывна на [0, a /2] и ее значения на концах S(0) и S( a /2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Exemplul 3.24. Necesară pentru a produce un rezervor cilindric închis cu o capacitate V = 16, p ≈ 50 m 3. Care trebuie să fie dimensiunile rezervorului (raza R și înălțimea H), pentru materialul său de fabricație a mers cele mai puține?

Decizie. Suprafața totală a suprafeței cilindrului este egală cu S = 2 p R (R + H). Știm volumul cilindrului V = p R 2 H Þ N = V / p R2 = 16 p / p R2 = 16 / R 2. Prin urmare, S (R) = 2 p (R2 + 16 / R). Am găsit derivata acestei funcții:
S „(R) = 2 p (2R- 16 / R2) = 4, p (R- 8 / R2). S „(R) = 0 când R3 = 8, prin urmare,
R = 2, n = 16/4 = 4.