seria armonică

Armonica serie - seria numerică + 1/2 + 1 1/3 + 1/4 +. + 1 / n +.

Se numește așa pentru că fiecare membru al seriei armonice, pornind de-a doua armonică este egală cu media două vecine (a se vedea. Valorile medii). termeni armonici de serie cu numar tot mai mare scădere și se apropie de zero, dar sumele parțiale Sn = 1 + 1/2 + 1/3 +. + 1 / n crește la infinit. Pentru a vedea acest lucru, este suficient să se constate că

Continuând acest raționament, putem concluziona că suma de 2 k termeni ai seriei armonice mai mult de 1 + k / 2. Acest lucru implică faptul că sumele parțiale ale creșterii seria armonică fără limită, t. Seria E. armonice este divergent (a se vedea. Series). Cu toate acestea, această creștere este foarte lent. Euler, care a studiat proprietățile seriei armonice, a constatat că

S1 000 ≈ 7,48, și S1 000 000 ≈ 14,39.

Mai mult, Euler set relație remarcabilă cu sumele parțiale ale seriei armonice, care arată că diferența de limita Sn - .. Ln n, adică limn → ∞ (Sn - ln n) = C.

Numărul de C în onoarea lui numit al lui Euler constanta, este aproximativ egal cu 0.5772 (Euler însuși, pe baza altor considerații, calculat C cu o precizie de până la 15 caractere).

Imaginați-vă „scară“, construit din cărămizi identice n, după cum urmează: a doua cărămidă este pus sub primul, astfel încât centrul de greutate al primului cont la marginea din dreapta a doua, apoi, sub aceste două cărămizi este prevăzută a treia, astfel încât centrul de ansamblu de greutate al primele două au dreptul marginea celui de al treilea etc. (Fig. 1). Într-o astfel de „scara“ centrul de greutate este proiectat la punctul A, prin urmare, „scara“ nu se încadrează. Dacă lungimea de cărămidă l, atunci 1 va fi deplasată în raport de 2 la l / 2, 2 minute s-ar fi deplasat în raport cu 3 la l / 4, (k + 1) k -lea în raport cu l / 2k, și toate „scara“ este deplasată spre dreapta

Expresia din paranteză este suma parțială a seriei armonice. Prin urmare, această metodă poate fi pliat în mod arbitrar mutat departe la dreapta „scara“. Cu toate acestea, după cum sa menționat ,? N creste foarte incet. De exemplu, dacă adăugați 1000 cărămizi, atunci Δ1 000 va fi doar 3.8 caramida lungimi.